Vous n'avez besoin que de deux lignes (quatre points) pour trouver un autre point. Deux lignes auront 0, 1 ou une infinité d'intersections. Pour des raisons évidentes, nous ne considérerons que le cas où il y a une intersection (car les deux autres cas ne nous aident pas à localiser un emplacement spécifique).
Nous avons donc deux lignes, appelons-les ' ligne 1 'et' ligne 2 '. Ces deux droites se croisent et nous donnent un point, appelons-le ' point β '. [Note: je n'ai pas utilisé alpha car il peut parfois ressembler à la lettre 'a', ce qui pourrait semer la confusion plus bas]
Disons que vous avez une troisième ligne, nous l'appellerons ' ligne 3 '. Ensuite, il y a quelques possibilités en termes d'intersections pour la ligne 3 :
- a) Elle se trouve au-dessus de la ligne 1 ou de la ligne 2
- b) Elle ne coupe aucune des lignes d'origine
- c) Elle ne coupe qu'une seule des lignes d'origine (mais pas de manière spéciale qui se produit dans le cas ' a ')
- d) Il coupe les deux lignes d'origine mais ne passe pas par le point β
- e) Il coupe les deux lignes d'origine et passe par le point β
Nous peut ignorer ' a) ' car cela signifierait que la ligne 3 est, à toutes fins utiles, une copie de l'une des deux premières lignes. Cela signifie que nous n'avons essentiellement que deux lignes, pas trois.
Nous pouvons ignorer ' b) ' car cela signifierait que la ligne 3 ne coupe pas le l'emplacement que nous essayons de trouver car il n'aurait aucune intersection.
' c) ' peut également être ignoré, mais pourquoi?
Le point original que nous avons trouvé, point β , était l'intersection des lignes 1 et 2 . Disons que la ligne 3 est également passée par le point β , alors; La ligne 3 devrait intersecter les deux des lignes d'origine. Mais « c) » est la possibilité où la ligne 3 ne coupe qu’une une des lignes originales; pas les deux. Donc, dans la possibilité ' c) ' la ligne 3 coupe une seule autre ligne pour nous donner un point, et nous savons que ce point ne peut pas être point β . Appelons cela ' point γ '. Voici le problème; nous ne voulons qu'un seul emplacement, mais les trois lignes nous ont donné deux points; β et γ . Trop d'emplacements, donc « c) » est ignoré.
« d) » est également absent. Pourquoi? Eh bien, les lignes 1 & 2 se croisent au point β , et nous avons dit que la possibilité ' d) ' est où la ligne 3 ne passe pas par le point β . Cela signifie que nous avons maintenant trois points!
- Le point d'intersection des lignes 1 & 2
- Le point d'intersection des lignes 2 & 3
- Le point où les lignes 3 & 1 se croisent
Nous voulons seulement un point, mais maintenant nous en avons trois! C'est encore pire que la possibilité ' c) '! Donc, ' d) ' est définitivement exclu.
Nous avons réduit les possibilités ' a) ' à ' d) ', alors maintenant nous nous retrouvons avec' e) '. Mais voici le problème; ' e) ' n'a techniquement rien de mal à cela, mais c'est inutile! La ligne 3 coupe les deux lignes d'origine en un seul point, le seul endroit où cela peut arriver est au point β . Si la ligne 3 ne coupe pas les lignes 1 & 2 au point β nous revenons à la possibilité ' d) ', ce qui nous donne trois points comme nous l'avons découvert. Alors maintenant nous savons, l'emplacement est au point β !!! Nous le savons car les trois lignes se croisent en un seul point.
Mais ... nous savions déjà où se trouvait le point β à partir des deux premières lignes, nous avons même donné un nom à ce point: ' point β '. Pour que la ligne 3 ait un sens, elle doit croiser un point que nous avons déjà trouvé. Si ce n'est pas le cas, nous revenons à l'une des quatre premières possibilités, qui n'ont aucun sens. (sauf pour ' a ', qui a du sens mais est identique à l'utilisation de deux lignes)
Une autre façon de penser;
- Nous avons deux lignes dans un espace tridimensionnel et nous savons qu'elles croisent toutes les deux un emplacement que nous essayons de trouver.
- Nous savons que les deux lignes peuvent être considérées comme existant entièrement sur un deux dimensions plan qui est une 'tranche' de l'espace tridimensionnel dans lequel ils existent. Il n'y a qu'un seul plan possible où ces deux lignes existent dans leur intégralité.
L'emplacement que nous voulons trouver doit être dans cet avion. Pourquoi? Parce que: Si les lignes existent entièrement sur le plan, elles n'existent nulle part en dehors de celui-ci, si l'emplacement que nous voulons trouver existe en dehors du plan, alors il existe là où aucune partie des lignes existent. S'il n'existe aucune partie des lignes à l'emplacement de l'emplacement, les lignes ne pourraient pas le traverser, mais ... nous savons que les lignes traversent l'emplacement, donc cet emplacement doit se trouver sur le plan .
Nous sommes tous d'accord que deux lignes sur un plan se croisent pour nous donner un seul point. Nous avons deux lignes qui font partie d'un et un seul plan à travers l'espace 3-d, elles traversent toutes les deux l'emplacement, et cet emplacement doit être sur le plan. Par conséquent, nous savons exactement où se trouve l'emplacement avec seulement deux lignes, même si ces deux lignes sont dans un espace en trois dimensions.
Deux lignes suffisent.
Vous pourriez être tenté de penser que des informations supplémentaires vous donneront plus de «combinaisons». Il y en a, mais le problème est; beaucoup d'entre eux ne sont pas possibles et ceux qui sont possibles s'avèrent inutiles. Toutes les combinaisons supplémentaires appartiennent à l'une des cinq possibilités énumérées précédemment. S'il appartient à;
- ' a) ' - Une ligne est une copie d'une autre, donc il n'y a que deux lignes: Pas de combinaisons supplémentaires!
- ' b) ' - L'une des lignes passe simultanément par l'emplacement & ne passe pas par l'emplacement. Reductio ad absurdum: aucune combinaison possible supplémentaire.
- ' c) ' - Nous donne trop de points, un emplacement existe d'une manière ou d'une autre dans plusieurs emplacements . Reductio ad absurdum: aucune combinaison possible supplémentaire.
- ' d) ' - Nous donne trop de points, un emplacement existe d'une manière ou d'une autre dans plusieurs emplacements . Reductio ad absurdum: Aucune combinaison possible supplémentaire.
- ' e) ' - Il y a un certain nombre de troisièmes lignes différentes qui coupent le point β , nous avons donc de nombreuses nouvelles combinaisons. Cependant, toutes ces combinaisons supplémentaires pointent vers le même emplacement; point β !!!
Nous obtenons certainement plus de combinaisons de la possibilité 'e', mais aucune d'entre elles ne donne de nouveaux résultats! Ils ne donnent que des copies des résultats obtenus à partir de deux lignes qui se croisent! Donc; Il y a plus de combinaisons mais le même nombre d'emplacements !